IV.1 Introduction à la modélisation

   Il est délicat de fournir une définition unique de la notion de modèle. Dans notre étude nous pouvons considérer qu’un modèle consiste en une représentation formalisée d’un phénomène sous forme d’équations dont les variables sont des paramètres du réseau GPRS.

   L’objectif de la modélisation est de représenter les traits les plus marquant d’une réalité qu’on cherche à styliser. Le modèle est donc un outil qu’on utilise lorsqu’on cherche à comprendre et à expliquer l’évolution de nos paramètres dans notre réseau.

   Il nous faudra, en se basant sur un raisonnement technique, mais aussi sur les propriétés des observations disponibles, faire un certain nombre d’hypothèses sur la nature statistique des écarts que peuvent présenter les observations au modèle spécifié. Et c’est en fonction de ces hypothèses que nous verrons qu’elles sont les propriétés des différentes méthodes d’estimation statistique et de procéder à des tests d’adéquation et de fiabilité  au observations obtenues.

  Notre étude statistique consiste donc à spécifier sous forme quantitative les modèles, de confronter ceux_ci aux observations disponibles. Il s’agira d’estimer numériquement les valeurs des paramètres des modèles, de tester leurs significations, et de juger de l’adéquation du modèle par rapport aux observations.

IV.2 Modélisation des paramètres directeurs du réseau 

   Il existe plusieurs méthodes statistiques de modélisation, chacune d’elles est basée sur des formules et des tests afin d’estimer le meilleur ajustement du modèle, et en fonction de l’analyse statistique de ces résultats, nous étudierons l’adéquation des modèles établis et nous choisirons le modèle statistiquement le plus significatif.

   Dans notre étude, nous allons utiliser différentes méthodes de régression exécutable par le logiciel, nous allons citer celles les plus significatives pour les deux modèles.

IV.3 Modélisation par régression linéaire

   L’analyse de régression est un outil qui permet d’étudier et de mesurer la relation existant entre deux ou plusieurs variables. En se basant sur les données d’un échantillon, l’analyse de régression cherche à déterminer une estimation d’une relation mathématique entre deux variables (ou plus).

   Pour la validation du modèle, il faudrait vérifier les hypothèses suivantes :

a)      Hypothèse de linéarité 

   Tout d'abord, il semble évident en regardant simplement le nom de la méthode, que la relation entre les variables est linéaire.  En pratique, cette hypothèse est vérifiée en examinant le nuage de points bivarié des variables étudiées. 

b)      Hypothèse de Normalité 

   Dans la régression multiple, on suppose que les résidus qui représentent la différence entre les valeurs théoriques et les valeurs observées, sont des variables aléatoires distribués suivant la loi normal, cette loi permet de faire de bonne approximations, les résidus seront moins dispersés.

c)      Homogénéité de la variance 

    Il faudrait que la variance des erreurs reste constante, et cela en vérifiant la normalité des résidus.

d)      L’autocorrélation des résidus 

   Il faut vérifier que  les corrélations mutuelles des résidus soient nulles c’est à dire qu’il n’y a pas d’autocorrélation des erreurs. On utilise pour cela le test de Durbin-Watson.

IV.3.1 Etude du premier modèle

   A l’initialisation du module « Régression Multiple »  le Panneau de Démarrage de la Régression Multiple nous permettra la spécification de l’analyse, de désigner les variables, le type de fichier de données, ainsi que d'autres options.

   Après l’exécution de la méthode, une fenêtre de  résultats s’affiche, elle représente une synthèse des résultats de l'analyse de régression courante et offre plusieurs options permettant d'étudier des résultats spécifiques dont on traite celle les plus importants pour la validation du modèle. 

   Pour le premier modèle, nous avons les résultats suivants :

La boite de synthèse nous affiche les informations suivantes :

Var. Dép. : Le nom de la variable dépendante, elle représente le paramètre directeur à modéliser.

Nombre d’observations: La taille d'échantillon minimum valide (n) est affichée.

R Multiple : Il s'agit du coefficient de corrélation multiple. Cette statistique est utile en régression multivariée (c'est à dire, avec plusieurs variables indépendantes) à fin de décrire la relation entre les variable

R²: Le coefficient de détermination multiple mesure la réduction de la variation totale de la variable dépendante due aux (multiples) variables indépendantes.

R²  Ajusté : Le R² est ajusté en divisant la somme des carrés de l'erreur et la somme des carrés totale par leurs degrés de liberté respectifs.

Erreur-type de l'estimation : Cette statistique mesure la dispersion des valeurs observées autour de la droite de régression.

Ordonnée à l'Origine : comme son nom l’indique c’est la valeur de l'ordonnée à l'origine.

Erreur-Type : Il s'agit de l'erreur-type de l'ordonnée à l'origine.

Test F (de Fisher) : La logique du test exact de Fisher est de calculer la probabilité exacte sous l'hypothèse nulle d'obtenir la distribution courante des fréquences dans les cellules, ou une plus inégale. Ce test vérifie la validation du modèle.

Significativité Statistique (Niveau p) : La significativité statistique d'un résultat est une mesure estimée du degré auquel il est "vrai" (au sens, "représentatif de la population").

  Plus techniquement, la valeur du niveau p représente un indice décroissant de la fiabilité d'un résultat. Dans de nombreux domaines de recherche, la valeur du niveau p de 0,05 est considéré selon l'usage comme une "limite acceptable" d'erreur. (Pour plus de détail, voir annexe).

   Tous les tests de significativité statistique de la régression multiple supposent que les données sont issues d'un échantillon aléatoire d'observations indépendantes.

Pour valider le modèle établi, nous effectuerons plusieurs analyses et tests statistiques.

a)      Analyse graphique

   L’analyse graphique est très importante, elle permet la vérification visuelle des hypothèses et donc nous permet la prise de décision de l’adéquation du modèle obtenu.

• Hypothèse de linéarité

  Ce graphique fait apparaître un nuage de points des valeurs brutes prévues (sur l'axe X) en fonction des résidus bruts (sur l'axe Y). Ce tracé est particulièrement utile pour tester l'hypothèse de linéarité concernant la relation entre les variables indépendantes et la variable dépendante. Les résultats des résidus forment un "nuage" homogène autour de la droite centrale qui signifie la convergence de l’erreur vers zéro, donc la relation est bien linéaire.

• Vérification de l’hypothèse de normalité 

Histogrammes 

  La régression multiple suppose que les valeurs des résidus sont normalement distribuées. Cet histogramme présente distribution de fréquence des valeurs observées avec superposition des valeurs théoriques Normales (attendues) sur le tracé. On peut constater que l’hypothèse de la normalité des résidus est réalisée.

   Ce Tracé de Loi Normale nous permet d'inspecter visuellement et rapidement dans quelle mesure les résidus suivent une distribution Normale.

• Valeurs observées en fonction des valeurs prévues

Ce tracé est particulièrement utile pour identifier des groupes potentiels d'observations qui ne sont pas bien prévus. La droite théorique est tracée en rouge indiquant la relation désirée entre les valeurs prévues et celles observées.   

Résidus en fonction des valeurs observées

Ces tracés sont particulièrement utiles pour détecter des points atypiques ou des groupes d'observations qui ont systématiquement des prévisions trop fortes ou trop faibles.

Pour notre modèle, on voit que la plupart des points observés sont concentrées sur la droite théorique des prévisions et de façon homogène.

a)      Homogénéité de la variance 

   Du fait que les résidus suivent une loi normale, on en déduit que leur variance est constante.

b)      L’analyse de l’autocorrélation 

  Par l’analyse des résidus toujours, l’option de Durbain_Watson nous a affiché les résultats suivants :

Le coefficient de l’autocorrélation=0.125           DW=1.75

Nous avons les hypothèses suivantes :

H0 : il n’y pas d’autocorrelation des résidus.

H1 : il y a autocorrelation des résidus.

   En consultant la table de Durbain_Watson pour l’échantillon d’une taille de 100 et de nombre de variables explicatives égale à 2 nous avons eu les coefficients suivants :

                                       det =1.72     4-=2.28

   Et on vérifie la condition suivante :

                                        Donc on accepte l’hypothèse H

c)      Analyse de variance 

  Nous devons procéder au test de Fisher, Ce test vérifie la signification globale du modèle, c'est-à-dire existe_t_il au moins une variable explicative significative ?

   Soit les hypothèses suivantes :

H :  il n’existe pas de modèle.

H : il existe au moins un des coefficient non nul, c’est à dire il existe au moins une variable indépendante.

   Le test est représenté dans le tableau suivant ainsi que les autres tests :

d)      Validation  graphique du premier modèle 

   Pour visualiser la modélisation effectuée concernant le premier paramètre, nous avons comparé la courbe de notre modèle et celle de nos observations, et nous avons obtenu le graphe suivant :